start

Chciałbym opowiedzieć o najtrudniejszym pojęciu matematyki. Najtrudniejszym, choć intuicyjnie prostym i używanym powszechnie również przez niematematyków. Chodzi o orientację.
Zacznijmy od jednego z najbardziej znanych matematyków – chodzi o Charlesa L. Dodgsona (1832–1898), studenta, a później profesora Christ Church College w Oxfordzie. Spieszę uspokoić tych, którzy nie odnajdują w swojej pamięci takiego matematyka: Charles Dodgson nie jest znany jako matematyk i na dodatek nie jest znany pod swoim nazwiskiem. To Lewis Carroll, którego dwie książeczki – Alice’s Adventures In Wonderland (1865) i Through the Looking Glass (1875) należą do (przynajmniej europejskiego) kanonu lektur dziecięcych. Pierwsza z nich ma ustaloną polską wersję tytułu: Alicja w krainie czarów, druga zaś znana jest w Polsce pod różnymi tytułami, wśród których jest i Co zobaczyła Alicja po drugiej stronie lustra?
No właśnie – co zobaczyła? Nasuwająca się odpowiedź to: zobaczyła siebie. Każdy jednak, kto próbował z pomocą lustra coś sobie obciąć, powiedzmy wąsy albo grzywkę, wie, że napotkamy przy takiej czynności pewne trudności i nasza sprawność sterowania ruchami widzianych w lustrze nożyc jest znacznie naruszona. W ogóle wydaje się, że trzymane w prawej ręce nożyce w lustrze trzymamy w ręce lewej.
Pozwala to postawić hipotezę, że lustro zamienia prawą i lewą stronę. Każdy zresztą chętnie poprze ten pogląd, uważając przy tym, że wie to od dziecka. Jeśli jednak mamy umysł przenikliwy i zwyczaj zadawania sobie i innym pytania dlaczego?, natychmiast zaczniemy poszukiwać odpowiedzi, dlaczego akurat prawą i lewą, a nie, powiedzmy, dół i górę.
Ufni w potęgę poznawczą doświadczeń, możemy wykonać eksperyment: z nagła, aby kompletnie zaskoczyć lustro, obróćmy je o 90°. Okaże się, że lustro dalej będzie zamieniało prawą i lewą, choć teraz będą one wypadały w tych akurat miejscach lustra, w których poprzednio znajdowały się niezamieniane dół i góra.
I tak pytanie staje się poważne, jak każde pytanie, na które nie umiemy dać zadowalającej odpowiedzi.
Właściwa odpowiedź jest zaskakująca: lustro nie zamienia prawej i lewej. Wydaje się to bzdurą, choć jest prawdą. Zrozumienie tej prawdy jest rzeczą trudną, bo też nie leży ona w optyce, ale głęboko w strukturze używanych przez nas pojęć, właściwie wręcz w filozofii. Chodzi o to, że używane przez nas pojęcia pochodzą „z różnych szuflad”. Każdy, oczywiście, uzna, że prostopadłość i posłuszeństwo to pojęcia o różnym pochodzeniu – wywodzą się one z zupełnie odmiennych kręgów doświadczeń. Okazuje się jednak, że różne pochodzenie mogą mieć również pojęcia dotyczące tego samego obszaru działania. Dla ilustracji przytoczę trzy przykłady. Pierwszy będzie dotyczył etyki, drugi geografii, a trzeci geometrii.

Przykład I. W okresie największego rozkwitu starożytnych Aten działała grupa filozofów nazywających się sofistami. Podstawowym kierunkiem ich dociekań było badanie reguł prowadzenia dyskusji. W szczególności interesowało ich, jak można wygrać debatę niezależnie od tego, jakie racje się głosi i jakie racje ma do przedstawienia kontrdyskutant. Swoje przemyślenia potrafili też zastosować praktycznie, udzielając (cóż tu ukrywać – odpłatnie) porad politykom, na co w demokratycznym systemie Aten było duże zapotrzebowanie. Sofistą – należącym do końcowego okresu ich działalności – był Sokrates. Jego końcowa konkluzja była taka, że gdy za przesłanki naszego wywodu przyjmiemy jedno stwierdzenie z zakresu prawa naturalnego, a drugie stwierdzenie z zakresu prawa moralnego, wówczas będziemy mogli uzasadnić zupełnie dowolną tezę. Na przykład, jeśli w debacie będziemy powoływać się z jednej strony na wolny rynek i konkurencję, a z drugiej na solidarność międzyludzką i miłość bliźniego, uda się nam bez trudu uzasadnić wszystko, co tylko się komu zamarzy. Można to zresztą zaobserwować w dyskusjach naszych dzisiejszych polityków. Nie byliby oni jednak zadowoleni z powyższego stwierdzenia. Niezadowoleni byli też politycy współczesnych Sokratesowi Aten, więc oskarżyli go o bezbożność i skazali na śmierć, każąc mu wypić kielich cykuty, co też uczynił.

Przykład II. Dla określenia swojego położenia na kuli ziemskiej żeglarz musi stwierdzić, na jakiej szerokości i długości geograficznej się znajduje. Szerokość geograficzna w pogodną noc daje się łatwo określić – jest to bowiem pojęcie przyrodnicze: wystarczy stwierdzić, jaki kąt z poziomem tworzy kierunek ku Gwieździe Polarnej. Ten kąt to właśnie szerokość geograficzna na naszej półkuli. Nie istnieje natomiast doświadczenie przyrodnicze pozwalające określić długość geograficzną. Już sam południk zerowy jest ustalany umownie – do pierwszej wojny światowej były zresztą trzy takie umowy: brytyjska – z południkiem zerowym przechodzącym przez londyńskie przedmieście Greenwich, francuska – z zerowym południkiem przez Paryż (mam nawet globus z tak zaznaczonym południkiem zerowym) i hiszpańska – przez Kadyks. Dziś powszechnie przyjmuje się tę pierwszą umowę. Do określenia długości geograficznej (nawet przez GPS!) potrzebna jest znajomość różnicy czasu astronomicznego (np. kiedy jest południe) między nami a południkiem zerowym – ta różnica czasu w godzinach pomnożona przez 15 daje długość geograficzną w stopniach (wschodnią, jeśli nasz zegar wyprzedza londyński, i zachodnią, gdy jest odwrotnie). W czasach, gdy nie było dostatecznie dokładnych zegarów, kłopoty z ustalaniem długości geograficznej były bardzo poważne (posługiwano się tzw. tablicami astronomicznych efemeryd)3. Stąd w XVII wieku admiralicje Anglii i Holandii, posiadających największe floty, ufundowały wielką nagrodę za skonstruowanie morskiego chronometru, co nie udało się mimo starań ani Galileuszowi, ani Huygensowi. Dopiero John Harrison (1705) taki chronometr skonstruował i ten przy niewielkich zmianach dotrwał do pojawienia się radia. Inna rzecz, że Harrison musiał przez okrągłe 30 lat procesować się ze skąpymi admirałami, zanim wypłacono mu nagrodę.

Przykład III. Jeśli chcemy opisać rozwartość jakiegoś kąta, wystarczy podać, jaką część (właściwą lub nie) kąta pełnego on stanowi. Rozwartość kąta pełnego możemy opisać na różne sposoby: a to, że jest to 360°, a to, że 2 radianów, a to, że 400 gradusów (jak chciała Rewolucja Francuska), a to, że 6000 tysięcznych (jak chcą artylerzyści), i to wyznaczy rozwartość naszego kąta. Tak czy owak, możemy poinformować o rozwartości kąta, nie odwołując się do żadnego materialnego wzorca. Ten fakt określamy, mówiąc, że kąt ma miarę naturalną. Natomiast odcinek nie ma miary naturalnej i, aby podać jego długość, obok podania jakiejś liczby musimy odwołać się do jakiegoś materialnego wzorca. Za czasów mojej młodości była to szyna z dwoma nacięciami przechowywana w Sévres pod Paryżem. Dziś używa się do tego prędkości światła (cytuję: 1 m to odległość, jaką przebywa płaska fala elektromagnetyczna w ciągu 1/299792458 s – prościej, prawda?).

Wróćmy jednak do Alicji. Spróbujmy – pamiętając, że mamy różne możliwości – przyjrzeć się pochodzeniu różnych charakterystycznych kierunków jej ciała (wstydliwi mogą, oczywiście, przyglądać się sobie).
Góra i dół są pojęciami przyrodniczymi. Zarówno fizyka (ciążenie), jak wynikająca stąd anatomia (nogi u dołu, głowa u góry) wyraźnie różnicę góry i dołu wyznaczają.
Przód i tył – też są przyrodnicze, bo każdy z nas coś innego ma z przodu (np. nos) niż z tyłu.
Natomiast lewa i prawa to tylko konwencja (…)

Więcej przeczytacie w artykule redakcyjnym „Co zobaczyła Alicja po drugiej stronie lustra? czyli rzecz o orientacji” w najnowszym (2/2012) wydaniu „Matematyki”.